حياة

كيف تثبت القاعدة التكميلية في الاحتمالات

كيف تثبت القاعدة التكميلية في الاحتمالات


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

يمكن استنتاج عدة نظريات في الاحتمال من البديهيات الاحتمالية. يمكن تطبيق هذه النظريات لحساب الاحتمالات التي قد نرغب في معرفتها. تُعرف إحدى هذه النتائج باسم القاعدة المكملة. يسمح لنا هذا البيان بحساب احتمالية وقوع حدث ما ا من خلال معرفة احتمال تكملة اC. بعد ذكر القاعدة المكملة ، سنرى كيف يمكن إثبات هذه النتيجة.

القاعدة التكميلية

تكملة لهذا الحدث ا يرمز بواسطة اC. تكملة لل ا هي مجموعة من جميع العناصر في المجموعة العالمية ، أو مساحة العينة S ، التي ليست عناصر للمجموعة ا.

يتم التعبير عن القاعدة المكملة بالمعادلة التالية:

P (اC) = 1 - P (ا)

نرى هنا أن احتمال وقوع حدث واحتمال تكميله يجب أن يبلغ 1.

دليل على القاعدة التكميلية

لإثبات القاعدة التكميلية ، نبدأ ببديهيات الاحتمال. يتم افتراض هذه العبارات دون دليل. سنرى أنه يمكن استخدامها بشكل منهجي لإثبات بياننا بشأن احتمال تكملة الحدث.

  • البديهية الأولى للاحتمال هي أن احتمال أي حدث هو رقم حقيقي غير سالب.
  • البديهية الثانية للاحتمال هي احتمالية مساحة العينة بأكملها S هو واحد. رمزي نكتب P (S) = 1.
  • البديهية الثالثة من الاحتمالات تنص على أنه إذا ا و ب هي حصرية متبادلة (بمعنى أن لديهم تقاطع فارغ) ، ثم نذكر احتمال توحيد هذه الأحداث كـ P (ا U ب ) = P (ا) + P (ب).

بالنسبة للقاعدة التكميلية ، لن نحتاج إلى استخدام البديهية الأولى في القائمة أعلاه.

لإثبات بياننا نحن نعتبر الأحداث او اC. من نظرية المجموعة ، نعلم أن هاتين المجموعتين لها تقاطع فارغ. هذا لأن عنصر لا يمكن أن يكون في وقت واحد في كليهما ا وليس في ا. نظرًا لوجود تقاطع فارغ ، فإن هاتين المجموعتين حصريتان بشكل متبادل.

اتحاد الحدثين ا و اC هي أيضا مهمة. هذه تشكل أحداثًا شاملة ، مما يعني أن اتحاد هذه الأحداث هو كل مساحة العينة S.

هذه الحقائق ، جنبا إلى جنب مع البديهيات تعطينا المعادلة

1 = ف (S) = P (ا U اC) = P (ا) + P (اC) .

المساواة الأولى هي نتيجة لبديهية الاحتمال الثاني. والمساواة الثانية هي لأن الأحداث ا و اC هي شاملة. والمساواة الثالثة هي بسبب البديهية الاحتمالية الثالثة.

يمكن إعادة ترتيب المعادلة أعلاه بالشكل الذي ذكرناه أعلاه. كل ما يجب علينا فعله هو طرح احتمال ا من جانبي المعادلة. وهكذا

1 = ف (ا) + P (اC)

يصبح المعادلة

P (اC) = 1 - P (ا).

بالطبع ، يمكننا أيضًا التعبير عن القاعدة من خلال ذكر ما يلي:

P (ا) = 1 - P (اC).

كل هذه المعادلات الثلاث هي طرق مماثلة لقول الشيء نفسه. نرى من هذا الدليل كيف أن اثنين من البديهيات وبعض نظرية المجموعات تقطع شوطًا طويلاً لمساعدتنا على إثبات بيانات جديدة تتعلق بالاحتمال.


شاهد الفيديو: توسيع قاعدة المشمولين في مظلة الضمان (كانون الثاني 2023).

Video, Sitemap-Video, Sitemap-Videos